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Thèse
Thèse au laboratoire de Physique de l'ENS Lyon sous la direction de Patrice Abry, chargé de recherche CNRS,

TITRE :   Cascades log-infiniment divisibles et analyse multirésolution.
Application à l'étude de phénomènes d'intermittence en turbulence .
(soutenue le 30 novembre 2001 à l'ENS Lyon)

Pour télécharger le manuscrit : au format PDF, au format PostScript.gz.
Résumé :

Les cascades log-infiniment divisibles fournissent un cadre général à l'étude de la propriété d'invariance d'échelle. Nous introduisons ces objets en décrivant l'évolution historique des différents modèles proposés pour décrire le phénomène d'intermittence statistique en turbulence. Nous nous appliquons alors à préciser une définition formelle des cascades log-infiniment divisibles. Nous remplaçons aussi les accroissements, usuels en turbulence, par les coefficients d'une transformée en ondelettes associée à une analyse multirésolution, outil dédié à l'analyse temps-échelle. Une réflexion approfondie sur la signification du formalisme nous amène à démontrer sa flexibilité pour la modélisation, ainsi que sa richesse en lien avec les cascades multiplicatives, les processus de Markov, l'équation de Langevin, l'équation de Fokker-Planck...Grâce à l'étude des cascades log-Poisson composées, nous proposons une vision originale du phénomène d'intermittence statistique. Ensuite, des estimateurs des exposants de lois d'échelle (éventuellement relatives) sont étudiés en insistant sur la correction du biais et la détermination d'intervalles de confiance. Nous les appliquons à des données de télétrafic informatique. Nous expliquons pourquoi une procédure usuelle d'estimation du spectre multifractal appliquée aux mouvements linéaires stables fractionnaires risque de mener à une méprise. Enfin, le lien entre intermittence statistique et intermittence spatio-temporelle (structures cohérentes) en turbulence est étudié à partir de l'enregistrement de signaux de vitesse et de pression conjointement en espace et en temps dans un écoulement turbulent. De fortes dépressions associées à des tourbillons filamentaires sont détectées. Une analyse statistique des coefficients d'ondelette de la vitesse conditionnée à ces événements nous permet de décrire l'influence de ces structures cohérentes à différents nombres de Reynolds.

Mots-clé : invariance d'échelle, transformée en ondelettes, processus stochastiques, cascades multiplicatives, intermittence, structures cohérentes, distributions infiniment divisibles, estimation, télétrafic, processus alpha-stables.

Abstract :

Log-infinitely divisible cascades provide a general framework to study the property of {\em scale invariance}. We introduce these objects through a historical presentation of some models proposed in the past to describe statistical intermittency in turbulence. We then aim at giving a precise and formal definition to log-infinitely divisible cascades. Moreover, we choose to use the wavelet transform coefficients associated to a multiresolution analysis, specially dedicated to time-scale analysis, rather than the increments traditionally used in turbulence. A deep understanding of the formalism leads us to demonstrate its versatility for modelling, and its relations to multiplicative cascades, Markov processes, Langevin equation, Fokker-Planck equation\ldots The particular case of log-compoung Poisson cascades provides us with new insights in the phenomenon of statistical intermittency. Then, we study some estimates of (relative) power law scaling exponents with an emphasis on bias correction and confidence interval estimation. We apply this technique to internet traffic data. We explain as well why a usual procedure to estimate a multifractal spectrum applied to a linear fractional stable motion may result misleading. Eventually, the link between statistical intermittency and spatio-temporal intermittency (coherent structures) is investigated in turbulence thanks to joint velocity/pressure measurements in a turbulent flow. Strong pressure drops due to vortices called filmaents are detected. A statistical analysis of the wavelet coefficients of the velocity signal conditionned by those detected events allows us to quantify the influence of coherent structures on intermittency at different Reynolds numbers.

Keywords : scale invariance, wavelet transform, stochastic processes, multiplicative cascades, intermittency, coherent structures, infinitely divisible distributions, estimation, traffic, alpha-stable processes.

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